Функции операторов и дифференциальные уравнения бесконечного порядка

Предлагается новое определение функции дифференциального оператора, которое приводит к локальному оператору - линейному дифференциальному оператору бесконечного порядка (а не псевдодифференциальному оператору). Изучены свойства таких операторов и соответствующих уравнений - линейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка. Показано, что многие свойства таких уравнений аналогичны свойствам уравнений конечного порядка, в частности, существуют такие уравнения бесконечного порядка, которые имеют конечное число линейно независимых решений. Это дает возможность определить для таких уравнений задачи, аналогичные задачам Штурма-Лиувилля для уравнений второго порядка. К таким уравнениям относится уравнение, содержащее локальный оператор, имеющий вид квадратного корня из дифференциального оператора. Это уравнение может быть названо релятивистским уравнением Шредингера, оно может быть положено в основу нового варианта релятивистской квантовой механики, свободного от трудностей общепринятой теории.